CONDICIONES DE DIRICHLET

CONDICIONES DE DIRICHLET

Las condiciones de dirichlet son las que  garantizan la convergencia de las series y la transformada de fourier para una funcion periodica, las cuales pueden clasificarse en:

Condicion debil de dirichlet

• Para la serie de fourier

Esta condicion plantea que los coeficientes de la serie de fourier deben ser finitos. Esto se puede demostrar mediante la integral del valor absoluto de la funcion a evaluar.

∫T0|f(t)|dt<∞

• Para la transformada de fourier

La transformada de fourier existira si el valor absoluto de la integral es menor a infinito en todo momento.

∫∞−∞|f(t)|dt<∞

Condiciones fuertes de dirichlet

Para que las series y la transformada de fourier convergan es necesario que se cumplan las siguientes condiciones, junto con la condicion debil de dirichlet

1. La funcion f(t) en un periodo debe tener un numero finito de maximos y minimos
2. La funcion f(t) en un periodo debe tener un numero finito de discontinuidades las cuales deben ser finitas.

Ejemplo 

se tiene la señal f(t)=1/t para 0<t<1, la cual se grafica en la siguiente figura:

Aplicandole a esta señal la condicion debil de dirichlet, la cual plantea que la funcion debe ser integrable en todo momento y el valor absoluto de los coeficientes debe ser siempre menor que infinito; se observa que esta funcion cuando t=0 hace que el valor de f(t) tienda a infinito, haciendo que uno de los coeficientes tienda a infinito, lo que viola esta condicion de dirichlet.